[00966865]堆积理论中若干问题的研究

堆积理论研究n维欧氏空间中内部互不相交的几何体构成的系统的几何结构和相应的不变量(如密度，洞深，牛顿数等)，是数的几何(Geometry of Numbers)领域的核心。数的几何是由悯可夫斯基在开普勒，牛顿，高斯，厄尔密特等人的工作的基础上于一个世纪前所创立的一个数论分支。这一数学分支不仅以一些超级难题(如开普勒猜想和希尔伯特第18问题)著称，也因在编码理论，晶体结构理论和组合优化中的应用而显示出重要性。该项目对堆积的几何结构做了系统的研究。首先，从局部出发，对L.Fejes Toth于1959年提出的遮光问题(在n维空间假定一个给定的单位球发光，多少个内部互不相交的单位球能挡住它所发出的所有光线？)给出了第一个有效上界；其次，与Henk教授合作将这一思想应用于整个空间中的堆积，对任一n维凸几何体构造出了一个整体堆积使得其空隙中的线段长有界。也就是说，其中每一个几何体所发出的光都被该堆积系统中的有限个平移体所遮挡。作为对照，Heppes于1960年曾证明三维球的任一格堆积(平移点集构成一个格)的空隙中都有无限长的圆柱体；最后该项目证明了：任一中心对称的二维凸体都存在一个相应的格堆积其深洞的深度不超过1.2；任一中心对称的三维凸体都存在一个相应的格堆积其深洞的深度不超过1.75。这两个结论对Rogers于1950年提出的深洞问题的低维情况首次取得实质性进展。该项目发现了一些与许多几何学家的直觉相左的现象。例1，在四面体的格堆积中，一个四面体最多与18个其它的四面体相接触，这时的堆积密度只有1/3(四面体的最大格堆积密度是19/48，这时每个四面体仅与14个其它四面体相接触。这是由悯可夫斯基，Hoylman得到的)。这一结果表明用普通局部化的方法来解决希尔伯特18问题的第三部分是行不通的。例2，在高维球的有限堆积中，当球的个数较多时凸闭包的表面积最小时体积一定不是最小。例3，在二维平面中存在三个互不相同的中心对称凸格点集(每个有11个点)它们在任一直线上的投影都有相同的基数。最后一个例子给出了Alexsandrov投影定理的离散形式的一个反例，它涉及CT技术的数学基础。该项目出版专著两部，发表论文19篇，其中包括发表在Bull.Amer.Math.Soc.上的两篇综述文章。